《數字狂》令人吃驚的答案:1+2+3+4+5+… = ?

把自然數 (正整數) 加起來會等於多少?讓數字狂告訴你!

對答案有不同意見嗎?在留言區說說自己的看法吧!


 

(α) RG 長篇碎碎念
螢光幕前的各位,尤其是在學的國高中生請注意!請把這個影片當成小知識來看,不要將這個結果與嚴謹的極限定義搞混!在數學上的確有方法可以定義這類發散級數的「和」,但這種「和」的求取方法必須作嚴格的定義。影片中的證明方法能夠求出答案,但是在邏輯上不完整。

在邏輯上,如果 p邏輯式是錯誤的,那麼不論 q邏輯式是真是假, “由 p邏輯式 可推得 q邏輯式 (p→q)” 這個陳述永遠是正確的。例如:如果 1=2 那麼 3=4。這個推理過程是對的,但是前後兩個邏輯式都是錯的。

直接寫出 1+2+3+4+5+6+…. = -1/12 在數學上是不嚴謹的。在極限定義下,這個加總趨近無窮大。如果直接令 S = 1+2+3+4+5+6+… 就隱含著 S 是一個能夠作四則運算的「數」,所以邏輯上如果這個前提已經是錯誤,那麼最後導出來 S 不論等於多少都沒有意義。

所以不能隨便「令」。舉例來說:令 S = 最大的自然數,那麼 S2 ≤ S  → S2-S ≤ 0 → S(S-1) ≤ 0 → 0 ≤ S ≤ 1 → 因為 S 是自然數所以 S = 1。這個結論顯然有問題!癥結就出在令 S = 最大的自然數的前提就錯誤了!

數字狂頻道另外發布了一個影片,這個影片的推導方法牽涉到 Zeta 函數,但是比較嚴謹,連結請見[註5],目前還沒有翻譯,如果各位有興趣請在下面留言,我會找時間翻譯出來!


 

(β) 註解區

[註1] 弦論 (String Theory):1970年代末期發展出來的理論物理理論。
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BC%A6%E7%90%86%E8%AB%96

[註2] 黎曼 Zeta 函數 (Riemann Zeta Function):由德國數學家黎曼 (Georg Friedrich Bernhard Riemann) 提出的函數,著名的黎曼猜想 (Riemann Hypothesis) 就是和這個函數有關,這個猜想目前尚未有人能證明或反證。
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%BB%8E%E6%9B%BC%CE%B6%E5%87%BD%E6%95%B8

[註3] S1 就是所謂的 Grandi 級數 (Grandi’s series),數字狂頻道已經對這個級數拍攝了短片,翻譯如以下連結!
http://www.youtube.com/watch?v=ZsgpARLtpi8

[註4] Googolplex 是一個超級大的數。Googol 被定義為 10 的 100 次方,而 Googolplex 則被定義為 10 的 Googol 次方,也就是 1 後面有 10 的 100 次方個零。數字狂頻道已經對這個數拍攝了短片,翻譯將在近期內推出!
http://www.youtube.com/watch?v=8GEebx72-qs

[註5] 最後這段影片,是數字狂在拍攝本短片的漏網鏡頭。影片內利用了黎曼 Zeta 函數的定義域擴張來導出 1+2+3+4+5+6+…. 應該被指定為 -1/12。這段影片長度頗長,目前還沒有翻譯,如果各位有興趣請在下面留言,我會視情況找時間翻譯出來!
http://www.youtube.com/watch?v=E-d9mgo8FGk


 

(γ) 原作頻道介紹

數字狂 (Numberphile)  是 Brady Haran 所發起的頻道,每一集都以一個特別的數字做為主題,並訪問教授或博士生有關這個數字的奇聞軼事。如果你在求學過程中恨死數學,覺得數學是極度乏味的學門的話,去看看 Numberphile 的影片,你會對這些可愛的數字們有嶄新的感受!請務必訂閱數字狂(Numberphile)的頻道:http://www.youtube.com/user/numberphile